Soal kesebangunan dan kongruensi
Bangun-bangun datar yang sebangun artinya bangun-bangun datar tersebut mempunyai bentuk yang sama namun ukurannya berbeda sanggup lebih besar atau lebih kecil.
Untuk mengambarkan dua buah bangkit datar sebangun sanggup dilakukan kalau memenuhi salah satu syarat di bawah ini :
a. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
b. Sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.
Contoh :
Diketahui dua buah segitiga ABC dan PQR. Panjang AB = 8, BC = 10, PQ = 4, dan PR = 3. Sedangkan ∠ A = ∠ P = 900, ∠ B = 300, ∠ R = 600. Buktikan segitiga ABC sebagun dengan PQR ?
Dengan memakai rumus phytagoras maka panjang sisi yang belum kita ketahui sanggup kita cari AC = 6 dan QR = 5.
Dengan memakai sifat segitiga yaitu jumlah sudut-sudut dalam segitiga = 1800 maka :
∠ C = 1800 – ( ∠ A + ∠ B ) = 1800 – 1200 = 600 dan
∠ Q = 1800 – ( ∠ P + ∠ R ) = 1800 – 1500 = 300.
Ada dua cara untuk mengambarkan dua bangkit segitiga di atas sebangun :
Cara 1 :
∠ A = ∠ P = 900, ∠ B = ∠ Q = 300, ∠ C = ∠ R = 600 (sudut-sudut yang bersesuaian sama besar)
Perbandingan Sisi-sisi yang Bersesuaian dalam Segitiga yang Salah Satu Sisinya Sejajar
Jika perbandingan melibatkan sisi segitiga yang tengah (sejajar) maka perbandingannya sesuai dengan gambar yang kiri (panah warna merah) sehingga tersusun 2 perbandingan :
DE/AB = CD/CA
DE/AB = CE/CB
DE/AB = CE/CB
Jika perbandingan melibatkan sisi-sisi tepinya maka sanggup memakai gambar yang kiri maupun yang kanan :
CD/DA = CE/EB
Catatan penting :
· Jangan mengingat perbandingan hurufnya alasannya ialah letak dan jenis abjad sanggup berubah-ubah namun ingatlah pola garisnya.
· Perbandingan di atas disusun menurut garis panajng per garis pendek yang bersesuaian. Kalian juga sanggup menyusun sebaliknya tetapi ingat jangan berubah-ubah polanya.
· Perbandingan terakhir (garis biru) hanya berlaku untuk perbandingan sisi-sisi tepi. Karena perbandingan tersebut bukan perbandingan umum dalam kesebangunan namun perbandingan pengembangan menurut perbandingan sisi kiri dan kanan yang sama maka perbandingan garis yang pendek dibanding selisih yang garis panjang dengan pendek (DA dan EB) sama.
Dalam soal perbandingan garis puncaknya tidak selalu di atas namun sanggup di kiri, kanan atau bawah tergantung dari letak sisi sejajar.
Perhatikan referensi yang ujung sketsanya di sebelah kiri :
Tinggi Adam 175 cm dan panjang bayangannya 190 cm. Pada ketika yang sama panjang bayangan pohon 4,5 m maka tinggi pohon (x) tersebut ialah ?
yang perlu diperhatikan satuan panjang orang/pohon dengan bayangannya harus sama jadi boleh panjang dan bayangan Adam tetap dalam centimeter namun dalam pengerjaan kali ini saya ubah dalam meter. menurut rumus perbandingan di atas maka :
x/1,75 = 4,5/1,9
Terus dikali silang (angka yang bawah/bagi menjadi kali dengan persilangannya) sehingga
1,9.x = 1,75.4,5
x = 4,15 m
Langkah kali silang kalau sudah lancar sanggup juga tidak ditulis cukup dibayangkan kemudian pribadi menulis langkah di bawahnya. kemudian kalau angka atas dan bawah sanggup disederhanakan dengan saling coret dengan pembagi yang sama sebaiknya disederhanakan dahulu.
Bentuk perbandingan di atas tidak mutlak, kita juga sanggup menyusun dalam bentuk lain contohnya :
Pohon/bayangan pohon = orang/bayangan orang
Atau bentuk lainnya yang sanggup kalian coba sendiri. Jika hasil alhasil sama maka perbandingan tersebut sanggup digunakan.
Kita lanjutkan ke variasi soal yang lain, perhatikan gambar :
Panjang garis EF ialah ?
Untuk memudahkan pengerjaan kita buat garis bantu yang sejajar dengan AD yang melalui titik C menyerupai sketsa di bawah ini
Sebelum mencari panjang EF kita cari dahulu panjang HF dengan perbandingan
Coba perhatikan alasannya ialah HF garis yang lebih pendek dari GB berada di atas maka CF yang lebih pendek dari CB juga di atas. Dan panjang CB = 4 cm + 6 cm = 10 cm serta panjang GB juga 10 cm sehingga :
HF/GB = CF/CB
HF/10 = 4/10
HF = 4 cm
EF = EH + HF = 9 + 4 = 13 cm
Soal selanjutnya cukup sulit diselesaikan bila belum tahu triknya
Titik E dan F masing-masing merupakan titik tengah diagonal trapesium sama kaki sehingga panjang AE = EC = BF = FD menyerupai sketsa di bawah ini :
Panjang garis EF ialah ?
Untuk memudahkan pengerjaan kita buat garis bantu yang merupakan perpanjangan garis EF yaitu EG
Mula-mula kita cari panjang EG dengan sketsa garis yang berwarna merah, alasannya ialah CE = EA maka CA = 2CE maka
EG/AB = CE/CA
EG/19 = 1/2
EG = 9,5
Kemudian kita cari panjang FG dengan sketsa garis yang berwarna biru, ingat sketsa tersebut merupakan segitiga terbalik sehingga puncak segitiganya berada di titik B maka
FG/DC = CE/CA
FG/9 = 1/2
FG = 4,5
EF = EG - FG = 9,5 - 4,5 = 4,5 cm
Terkadang panjang garis yang kita misalkan dengan abjad digabung dengan panjang garis lain yang sudah diketahui besarnya. Misalnya :
MO/ML = MN/MK
a/(a + 12) = 6/15
Dikali silang sehingga
15 . a = 6 (a + 12)
Angka 6 dikalikan dengan yang ada di dalam kurung menjadi
15a = 6a + 72
15a – 6a = 72
9a = 72
a = 72/9 = 8 cm
Rumus Air Mancur dalam Segitiga Sebangun
Coba kalian perhantikan skema rumus berikut ini :
Coba kalian perhatikan, garis-garis yang melengkung saling dikalikan maka hasilnya sama dengan garis lurus yang dobel yang dikuadratkan. arah panah garis yang lurus selalu menuju ke sisi miring segitiga siku-siku. Kemudian dilanjutkan dengan garis lengkung pendek kemudian garis lengkung panjang. Ingat polanya jangan menghafal hurufnya.
AD2 = DB . DC
AC2 = CD . CB
AB2 = BD . BC
Coba perhatikan referensi soal berikut ini.... dan carilah nilai x, y dan z :
AD2 = DC . DB
122 = 16 . x
144 = 16x
x = 144/16 = 9 cm
untuk soal yang ini saya kerjakan pribadi :
y2 = 16 . (16 + 9)
y2 = 400
y = 20 cm
z2 = 9 . (9 + 16)
z2 = 225
z = 15 cm
terkadang dalam mengerjakan soal kalian harus memahami konsep dasar wacana perbandingan dalam kesebangunan secara mendalam, coba perhatikan bangkit segitiga di bawah ini
coba carilah panjang DE ?
ingat garis DE tidak sejajar dengan garis AB namun segitiga ABC sebangun dengan DEC alasannya ialah mempunyai sudut-sudut bersesuaian yang sama besar.
Ingat pada prinsipnya asal kedua bangkit merupakan segitiga sebangun maka sanggup dibentuk perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. Untuk fasilitas dalam mengerjakan soal pisahkanlah antara gambar segitiga besar dengan segitiga kecil.
segitiga besar dan kecil mempunyai titik sudut yang sama yaitu titik C maka besar sudutnya pun juga sama. segitiga yang besar siku-siku di titik A sedangkan segitiga kecil siku-siku di titik E, maka sesudah dipisahkan terlihat menyerupai gambar di bawah ini :
sehingga ED = 6 cm
Sekarang referensi bangkit yang berbentuk persegi panjang :
Suatu Poster berukuran 20 cm x 36 cm diletakkan pada suatu bingkai karton sebangun, pada sisi sebelah atas tersisa 5 cm demikian juga bab kanan dan kiri bingkai juga tersisa 5 cm menyerupai dalam gambar di bawah ini, berapakah sisa bingkai pada bab bawah?
Dua bangkit di atas kita pisahkan sehingga menjadi
dengan gampang kita dapatkan panjang y = 54 cm
Maka sisa karton bab bawah = 54 – 36 – 5 = 13 cm
Ada soal yang menyerupai dengan soal di atas yang pengerjaanya mirip, perbedaannya hanya dalam penyelesaian akhir.
Suatu Poster berukuran 20 cm x 36 cm diletakkan pada suatu bingkai karton dengan batas tepi karton di setiap sisinya 5 cm menyerupai dalam gambar di bawah ini, berapakah panjang bab bawah poster yang harus dipotong supaya sebagun ?
Dua bangkit di atas kita pisahkan sehingga menjadi
Panjang poster walaupun sudah diketahui sebesar 36 cm namun tidak dicantumkan alasannya ialah pada bab tersebut yang akan kita potong
dengan cara perbandingan yang sesuai kalau hitunganmu benar maka y = 30,67 cm
Sehingga panjang poster yang kita potong = 36 – 30,67 = 5,33 cm
Demikianlah variasi soal dalam kesebangunan yang cukup beragam. Semoga sanggup menambah kefahaman kalian terhadap bahan kesebangunan. Materi yang terkesan sederhana dan singkat ternyata variasi soalnya cukup banyak. Sehingga tidak semua bentuk soal sanggup kita bahas dalam modul ini. Dengan memperbanyak latihan soal dengan buku lain kalian akan semakin menguasai bahan kesebangunan.
1. Kongruensi
Bangun-bangun datar yang kongruen ialah bangun-bangun yang mempunyai baentuk dan ukuran yang sama.
Untuk mengambarkan dua buah bangkit segitiga kongruen sanggup dilakukan kalau memenuhi salah satu syarat di bawah ini :
a. Tiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi,sisi,sisi).
b. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sudut,sisi,sudut atau sisi,sudut,sudut)
c. Dua pasang sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar (sisi,sudut,sisi)
Buktikan segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR ?
∠ ABC = 1800 – (∠ BAC + ∠ ACB) = 1800 – (800 + 650) = 1800 – 1450 = 350
Sehingga
∠ ACB = ∠ PRQ = 650
∠ ABC = ∠ PQR = 350
Jika dua buah pasang sudut dalam segitiga sama maka sepasang sudut lainnya niscaya sama, namun syarat di atas gres mengambarkan bahwa kedua bangkit segitiga tersebut sebangun dan belum tentu kongruan. Untuk mengambarkan kedua bangkit segitiga kongruen masih butuh satu syarat lagi yaitu
Panjang AC = panjang PR
Jadi segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR dengan pembuktian sisi,sudut,sudut
Sumber http://mediabelajaronline.blogspot.com
EmoticonEmoticon